سیالات حفاری

معماری فرهنگ قوم لر حفاری وسیالات حفاری تمدن لرستان

 
استخراج معادلات جریان آرام
نویسنده : رضا سپهوند - ساعت ۳:۱٠ ‎ب.ظ روز ۱۳٩٤/٦/٢۱
 

فصل دوم

استخراج معادلات جریان آرام

 

 

معادلات جریان سیال برای لوله‌ها معمولاً با استفاده ازفرضیات زیر استنتاج می‌شوند:

1-      سرعت سیال در دیواره لوله برابر با صفر است.  این فرض بدین معناست که هیچگونه لغزشی در دیواره لوله وجود ندارد.

2-      سیال درون لوله یک سیال مستقل از زمان فرض می‌گردد و تنش برشی فقط تابع شدت برش می‌باشد.

3-      جریان آرام است بنحوی که هر جزء سیال در امتداد یک خط مستقیم و با سرعتی ثابت به موازات محور لوله حرکت می‌نماید.

1-1- جریان درون لوله:

المان کوچکی از سیال به شکل یک استوانه هم محور با لوله با شعاع r و به طول L همانطور که در شکل (2-1) نشان داده شده است را درنظر بگیرید.  در طول یک جریان ثابت و غیر قابل تراکم و بدون شتاب ازسیال، نیروهای اعمال شونده به المان عبارتند از:

 (a)اختلاف فشار (p1 – p2) که باعث حرکت سیال با سرعت ثابت v می‌شود.

(b) نیروی برشی عمل کننده بر روی سطح استوانه هم محور با لوله (المان) که با حرکت ذرات سیال درون المان برابر خواهدبود:

 

Forward Force = Opposing Force

(Surface Area Of Shell)End Area =

 

 

(2-1)          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 1-2 : توزیع تنش برشی در یک المان درون لوله

 

1-1-1- توزیع تنش برشی :

از معادله (2-1) می توان توزیع تنش برشی را هنگام جریان سیال تعیین نمود.

در دیواره لوله:

 

 

که  : تنش برشی در دیواره لوله است.

با استفاده از این مقادیر، معادله (2-1) خواهد شد:

 

(2-1-a)              

از معادلات (2-1) و (2-1-a) می توان تنش برشی را در هر نقطه بر حسب  و r بدست آورد.

(2-1-b)

 

که در این رابطه r فاصله شعاعی از مرکز لوله می‌باشد، بنابراین از معادله (2-1-b) خواهیم داشت :

 

توزیع تنش در شکل (2-1) نشان داده شده است.

1-1-2- معادله جریان آرام در لوله :

با جایگزینی معادله(2-1) در معادله مدل بینگهام پلاستیک خواهیم داشت:

 

نسبت به r از معادله بالا انتگرال می‌گیریم:

 

(2-2)

اگر هیچگونه لغزشی روی دیواره لوله نداشته باشیم در آن صورت خواهیم داشت :

r=R                   V=0

که R شعاع لوله است.

بنابراین :

 

(2-2-a)

جایگزینی C در معادله (2-2) می‌دهد:

 

یا :

(2-2-b)             

از آنجائیکه بیان معادله جریان برحسب شدت جریان حجمی(Q) معمول‌تر است تا برحسب سرعت، لذا برای ساده کردن بیشتر از روابط زیر استفاده می‌کنیم:

 

 

 

با جایگزینی مقدار V از معادله (2-2-b) در معادله فوق، خوا هیم داشت:

 

 

 

سرعت متوسط برابر است با:

 

با مرتب سازی رابطه بالا می‌دهد:

(2-3)

معادله (2-3) برحسب روابط ریاضی(Consistent Units) بوده و می‌بایست آن را تبدیل به واحدهای عملیاتی (Oil Field Units) نماییم که این تبدیل به صورت زیر خواهد بود:

جمله اول سمت راست:

 

 

 

 

جمله دوم سمت راست:

 

بنابراین معادله (2-3) خواهد شد:

(2-4)    

بطوریکه D=2R  

1-1-3- سرعت بحرانی در داخل لوله :

معادله)4-2( فقط برای جریان آرام مناسب می‌باشد همانطور که قبلاً بیان شد جریان آرام زمانی روی می‌دهدکه Re<2000 باشد و جریان توربولنت (متلاطم) زمانی روی می‌دهد که Re>3000 باشد بنابراین یک بیان برای سرعت بحرانی با درنظر گرفتن Re = 3000 بدست می‌آید.  همانطور که قبلاً گفته‌شد یک سیال نیوتنی سیالی است که در آن Yp=0 باشد.  بنابراین با جایگزینی YP=0 در معادله (2-4) خواهیم داشت:

 (2-5)

 به ویسکوزیته موثر (Effective Viscosity) موسوم بوده و ویسکوزیته‌ای است که سبب می‌شود تا معادله Hagen-Poiseuille برای کلیه سیالات مستقل از زمان در تمام حالات مربوط به جریان آرام  قابل کاربرد گردد.

کاربرد ویسکوزیته موثر در معادله  می‌تواند مقدار دو معادله  و را از لحاظ عددی برابر گرداند.  لذا خواهیم داشت:

 

(2-6)

برای جریان متلاطم:

(2-7)

که  سرعت بحرانی است که در این سرعت جریان متلاطم رخ می‌دهد. از جایگزینی  از معادله (2-6) در شرایط شدت بحرانی در معادله(2-7) خواهیم داشت:

(2-8)

معادله بالا به شکلهای دیگر نیز بیان شده است در حالتی که متلاطم بودن جریان زمانی روی دهد که Re=2000 و یا Re=2500 باشد.

Re = 2000

(2-8-a)

 

(2-8-b)

مثال:  یک گل حفاری با دبی  از داخل لوله حفاری با قطر داخلی 4.5 in و به طول 400 فوت پمپ می‌شود این سیال دارای دانسیته  و پلاستیک ویسکوزیته 15 سنتی پویز و نقطه واروی  می‌باشد.  نوع جریان و مقدار افت فشار درون لوله‌های حفاری را تعیین کنید؟

با استفاده از معادله  سرعت بحرانی را حساب می‌کنیم:

 

 

 

از آنجائیکه  پس جریان آرام است و معادله (2-4) قابل اجرا است:

 

1-2- جریان دالیزی  :Annular Flow

در حفاری چاه نفت، افت‌های فشار فضای حلقوی در جریان آرام مقادیر کوچکی می‌باشند و حدوداً 10% افت فشار کل می‌باشد و معمولاً با افت‌های فشار در حالت جریان متلاطم آنها را در نظر می‌گیرند.  در حفاری چاه نفت با جریان دالیزی، هنگامیکه گل میان لوله‌های حفاری یا لوله‌های وزنه و جداری یا دیواره چاه جریان دارد، مواجه می‌گردیم.  جریان بین صفحات مسطح موازی مسئله کلاسیکی است که غالباً در دینامیک سیالات مورد بررسی قرار می‌گیرد.  معادلات مربوط به جریان آرام سیالات در بین صفحات موازی را برای جریان سیال در داخل دالیز مورد استفاده قرار می‌دهند.  صفحات ساکن بوده و پهنای آنها باندازه کافی بزرگ می‌باشد تا آثار لبه‌ای قابل صرفنظر باشند.  همانطورکه در شکل (2-2) نشان داده شده، جریان مداوم سیالی را بین دو صفحه موازی، مسطح و ساکن که فاصله بین آنها W است در نظر بگیرید.

 

 

 

شکل (2-2):  جریان سیال بین دو صفحه موازی

 

طبق روشی مشابه که برای لوله دیدیم می‌توان نتایج زیر را بدست آورد:

 

 

 

 =  تنش برشی در دیواره

E = عرض صفحه

L = طول صفحه

W = فاصله عمود بین دو صفحه

اگر فاصله بین مرکز مکعب و منتهی الیه مرزی را Y در نظر بگیریم:

W=2y

بنابراین :

 

در هر فاصله‌ای مانند y از مرکز خواهیم داشت:

(2-9)

طبق مدل بینگهام پلاستیک

 

با جایگزینی معادله (2-9) در معادله بالا می‌دهد:

 

با انتگرال گیری نسبت به y :

 

 

(2-10)         

بطوریکه C یک مقدار ثابت است، در شرایط مرزی وقتی y=Y و V=0

(2-10-a)

جایگزینی معادله (2-10-a) در معادله (2-10) و مرتب کردن آن می‌دهد:

(2-10-b)       

  

A = مساحت شکاف = WE =E(2Y)  

 

 

با جایگزینی مقدار V از معادله (2-10-b) در رابطه‌ای که برای dQ بدست آمده خواهیم داشت:

 

سرعت متوسط :

 

بنابراین :

      (2-10-C)

رابطه (2-10-C) بر حسب ΔP بصورت ذیل نوشته می‌شود

 

با در نظر گرفتن:

 

Dh=  قطر چاه

Dp= قطر خارجی لوله حفاری (لوله وزنه)

(2-11)

برای تبدیل معادله فوق به واحد های عملیاتی (Field Unit ):

جمله اول

  

=

 

 

= جمله دوم

 

 

 

بنابراین معادله (2-11) در Field Unit خواهد شد:

 

(2-12)    

 

مثال :

افت فشار در فضای حلقوی را با استفاده از اطلاعات زیر تعیین کنید؟

 9000 فوت = طول لوله حفاری

قطر خارجی لوله حفاری  =5 "

قطر داخلی لوله حفاری  = 4.276 "

)قطر چاه Open Hole) = 8.5 "

پلاستیک ویسکوزیته(PV) =20 Cp

 

300 = دبی GPM

دانسیته گل = 10 PPG